Верифікація асимптотичних методів теорії нелінійних коливань засобами СКМ MAPLE

Abstract

Кваліфікаційна робота присвячена дослідженню точності та меж застосовності асимптотичних методів у теорії нелінійних коливань шляхом їх верифікації за допомогою системи комп'ютерної математики Maple. В роботі розглянуто теоретичні основи виникнення нелінійних коливань та проаналізовано класичні наближені методи розв’язання диференціальних рівнянь: метод малого параметра (прямого розкладу), метод ЛінштедтаПуанкаре та метод Крилова-Боголюбова. Об’єктами дослідження обрано класичні моделі нелінійної механіки – осцилятор Дуффінга та математичний маятник. Шляхом порівняння аналітичних розв’язків із точними чисельними результатами, отриманими в середовищі Maple, встановлено, що метод прямого розкладу призводить до появи секулярних членів, що обмежує його застосування малими проміжками часу. Натомість метод Лінштедта-Пуанкаре продемонстрував високу точність та ефективність при врахуванні неізохронності коливань. Також показано, що врахування кубічної нелінійності в рівнянні математичного маятника дозволяє отримати результат, який у 5–8 разів точніший за лінійне наближення, проте похибка зростає зі збільшенням кута початкового відхилення.